Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Простейшие преобразования графиков функций

Зная вид графика некоторой функции, можно при помощи геометрических преобразований построить график более сложной функции. Рассмотрим график функции y=x 2 и выясним,как можно построить, используя сдвиги вдоль координатных осей, графики функций вида y=(x-m) 2 и y=x 2 +n .

Пример 1. Построим график функции y=(x - 2) 2 , опираясь на график функции y=x 2 (щелчок мышкой) . График функции y=x 2 есть некоторое множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение y=x 2 в верное числовое равенство. Обозначим это множество точек, то есть график функции y=x 2 , буквой F , а неизвестный нам пока график функции y=(x - 2) 2 обозначим буквой G . Сравним координаты тех точек графиков F и G , у которых одинаковые ординаты. Для этого составим таблицу: х -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 х 2 4 1 0 1 4 9 16 25 36 (х – 2) 2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Рассматривая таблицу (которую можно неограниченно продолжать и вправо и влево), замечаем, что одинаковые ординаты имеют точки вида (х 0 ; у 0) графика F и (х 0 + 2; у 0) графика G , где х 0 , у 0 – некоторые вполне определенные числа. На основании этого наблюдения можем сделать вывод, что график функции y=(x - 2) 2 можно получить из графика функции y=x 2 путем сдвига всех его точек вправо на 2 единицы (щелчок мышкой).

Таким образом, график функции y=(x - 2) 2 может быть получен из графика функции y=x 2 сдвигом вправо на 2 единицы. Рассуждая аналогично, можно доказать, что график функции y=(x + 3) 2 также может быть получен из графика функции y=x 2 , но сдвигом не вправо, а влево на 3 единицы. Хорошо видно, что осями симметрии графиков функций y=(x - 2) 2 и y=(x - 3) 2 являются соответственно прямые х = 2 и х = - 3 . Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой

Если вместо графика y=(x - 2) 2 или y=(x + 3) 2 рассмотреть график функции y=(x - m) 2 , где m – произвольное число, то в проведенном ранее рассуждении ничего принципиально не изменится. Таким образом, из графика функции у = х 2 можно получить график функции y=(x - m) 2 с помощью сдвига вправо на m единиц в направлении оси Ох, если m > 0 , или влево, если m 0 , или влево, если m

Пример 2 . Построим график функции y = x 2 + 1 , опираясь на график функции y=x 2 (щелчок мышкой) . Сравним координаты точек этих графиков, у которых одинаковые абсцисс ы. Для этого составим таблицу: х -3 -2 -1 0 1 2 3 х 2 9 4 1 0 1 4 9 x 2 + 1 10 5 2 1 2 5 10 Рассматривая таблицу, замечаем, что одинаковые абсциссы имеют точки вида (х 0 ; у 0) для графика функции y=x 2 и (х 0 ; у 0 + 1) для графика функции y = x 2 + 1 . На основании этого наблюдения можем сделать вывод, что график функции y=x 2 + 1 можно получить из графика функции y=x 2 путем сдвига всех его точек вверх (вдоль оси Оу) на 1 единицу (щелчок мышкой).

Итак, зная график функции y=x 2 , можно построить график функции y=x 2 + п с помощью сдвига первого графика вверх на п единиц, если п>0 , или вниз на | п | единиц, если п 0 , или вниз, если п

Из выше сказанного следует, что графиком функции y=(x - m) 2 + п является парабола с вершиной в точке (m ; п) . Ее можно получить из параболы y=x 2 с помощью двух последовательных сдвигов. Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х 2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. Решение. Представим трехчлен х 2 + 6х + 8 в виде (x - m) 2 + п. Имеем х 2 + 6х + 8 = х 2 + 2х*3 + 3 2 – 1 = (x + 3) 2 – 1 . Отсюда у = (x + 3) 2 – 1 . Значит, графиком функции у = х 2 + 6х + 8 является парабола с вершиной в точке (- 3; - 1) . Учитывая, что ось симметрии параболы – прямая х = - 3 , при составлении таблицы значения аргумента функции следует брать симметрично относительно прямой х = - 3: х -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 у 8 3 0 -1 0 3 8 Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых занесены в таблицу (щелчок мышкой), проводим параболу (по щелчку).

2) Преобразование симметрии относительно оси y f(x) f(-x) График функции y=f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно оси y. Замечание. Точка пересечения графика с осью y остается неизменной. Замечание 1. График четной функции не изменяется при отражении относительно оси y, поскольку для четной функции f(-x)=f(x). Пример: (-x)²=x² Замечание 2. График нечетной функции изменяется одинаково как при отражении относительно оси x, так и при отражении относительно оси y, посольку для нечетной функции f(-x)=-f(x). Пример: sin(-x)=-sinx.

3) Параллельный перенос вдоль оси x f(x) f(x-a) График функции y=f(x-a) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси x на |a| вправо при a>0 и влево при a 0 и влево при a"> 0 и влево при a"> 0 и влево при a" title="3) Параллельный перенос вдоль оси x f(x) f(x-a) График функции y=f(x-a) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси x на |a| вправо при a>0 и влево при a"> title="3) Параллельный перенос вдоль оси x f(x) f(x-a) График функции y=f(x-a) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси x на |a| вправо при a>0 и влево при a">

4) Параллельный перенос вдоль оси y f(x) f(x)+b График функции y=f(x)+b получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b 0 и вниз при b"> 0 и вниз при b"> 0 и вниз при b" title="4) Параллельный перенос вдоль оси y f(x) f(x)+b График функции y=f(x)+b получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b"> title="4) Параллельный перенос вдоль оси y f(x) f(x)+b График функции y=f(x)+b получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b">

0 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 00 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 0 8 5) Сжатие и растяжение вдоль оси x f(x) f(x), где >0 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 0 0 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 0 0 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 0 0 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 00 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 0 title="5) Сжатие и растяжение вдоль оси x f(x) f(x), где >0 >1 График функции y=а(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в раз. Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными. 0

6) Сжатие и растяжение вдоль оси y f(x) kf(x), где k>0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0 0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0"> 0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0"> 0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0" title="6) Сжатие и растяжение вдоль оси y f(x) kf(x), где k>0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0"> title="6) Сжатие и растяжение вдоль оси y f(x) kf(x), где k>0 k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз. 0">

7) Построение графика функции y=|f(x)| Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси x и на оси x, остаются без изменения, а лежащие ниже оси x – симметрично отображаются относительно этой оси (вверх). Замечание. Функция y=|f(x)| неотрицательна (ее график расположен в верхней полуплоскости). Примеры:

8) Построение графика функции y=f(|x|) Часть графика функции y=f(x), лежащая левее оси y, удаляется, а часть, лежащая правее оси y – остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси y (влево). Точка графика лежащая на оси y, остается неизменной. Замечание. Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен относительно оси y). Примеры:

9) Построение графика обратной функции График функции y=g(x), обратной функции y=f(x), можно получить преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно прямой y=x. Замечание. Описанное построение производить только для функции, имеющей обратную.

Решить систему уравнений: В одной системе координат, построим графики функций: а) График этой функции получается в результате построения графика в новой системе координат xoy, где O(1;0) б) В системе xoy, где o(4;3) построим график y=|x|. Решением системы являются координаты точки пересечения графиков и Пара чисел: Проверка: (верно) Ответ: (2;5)..)5;2(y x

Решить уравнение:f(g(x))+g(f(x))=32, если известно, что и Решение: Преобразуем функцию f(x). Так как, то Тогда g(f(x))=20. Подставим в уравнение f(g(x))+g(f(x))=32, получим f(g(x))+20=32; f(g(x))=12 Пусть g(x)=t, тогда f(t)=12 или при при или Имеем: g(x)=0 или g(x)=4 Так как при x5 g(x)=20, то решения уравнений: g(x)=0 и g(x)=4 будем искать среди x

Слайд 2

Зная вид графика некоторой функции, можно при помощи геометрических преобразований построить график более сложной функции.Рассмотрим график функции y=x2и выясним,как можно построить, используя сдвиги вдоль координатных осей, графики функций видаy=(x-m)2иy=x2+n.

Слайд 3

Пример 1.Построим график функции y=(x- 2)2, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой).График функции y=x2 есть некоторое множество точек координатной плоскости, координатыкоторых обращают уравнение y=x2 в верное числовое равенство. Обозначим это множество точек, то есть график функции y=x2, буквой F, а неизвестный нам пока график функции y=(x-2)2 обозначим буквой G.Сравним координаты тех точек графиков F и G, у которых одинаковые ординаты. Для этого составим таблицу: Рассматривая таблицу (которую можно неограниченно продолжать и вправо и влево), замечаем, что одинаковые ординаты имеют точки вида (х0; у0) графика F и (х0 + 2; у0) графика G, где х0, у0 – некоторые вполне определенные числа. На основании этого наблюдения можем сделать вывод, что график функции y=(x-2)2можно получить из графика функции y=x2путем сдвига всех его точек вправо на 2 единицы (щелчок мышкой).

Слайд 4

Таким образом, график функции y=(x- 2)2 может быть получен из графика функции y=x2сдвигом вправо на 2 единицы. Рассуждая аналогично, можно доказать, что график функции y=(x + 3)2также может быть получен из графика функции y=x2, но сдвигом не вправо, а влево на 3 единицы. Хорошо видно, что осями симметрии графиков функций y=(x- 2)2 и y=(x - 3)2 являются соответственно прямые х = 2 и х = - 3. Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой

Слайд 5

Если вместо графика y=(x- 2)2 или y=(x + 3)2 рассмотреть график функции y=(x - m)2, где m– произвольное число, то в проведенном ранее рассуждении ничего принципиально не изменится. Таким образом, из графика функции у = х2 можно получить график функции y=(x - m)2 с помощью сдвига вправо на mединиц в направлении оси Ох, если m> 0, или влево, если m 0, или влево, если m

Слайд 6

Пример 2.Построим график функции y=x2 + 1, опираясь на график функции y=x2(щелчок мышкой).Сравним координаты точек этих графиков, у которых одинаковые абсциссы. Для этого составим таблицу: Рассматривая таблицу, замечаем, что одинаковые абсциссы имеют точки вида (х0; у0) для графика функции y=x2и (х0; у0 + 1) для графика функции y=x2 + 1. На основании этого наблюдения можем сделать вывод, что график функции y=x2 + 1можно получить из графика функции y=x2путем сдвига всех его точек вверх (вдоль оси Оу) на 1 единицу (щелчок мышкой).

Слайд 7

Итак, зная график функции y=x2, можно построить график функции y=x2 + п с помощью сдвига первого графика вверх на пединиц, если п>0, или вниз на | п | единиц, если п 0, или вниз, если п

Слайд 8

Из выше сказанного следует, что графиком функции y=(x - m)2 + п является парабола с вершиной в точке (m; п). Ее можно получить из параболы y=x2с помощью двух последовательных сдвигов. Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. Решение. Представим трехчлен х2 + 6х + 8 в виде (x - m)2 + п. Имеем х2 + 6х + 8= х2 + 2х*3 + 32 – 1 = (x + 3)2 – 1. Отсюда у = (x + 3)2 – 1. Значит, графиком функции у = х2 + 6х + 8 является парабола с вершиной в точке(- 3; - 1). Учитывая, что ось симметрии параболы – прямая х = - 3, при составлении таблицы значения аргумента функции следует брать симметрично относительно прямой х = - 3: Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых занесены в таблицу (щелчок мышкой), проводим параболу (по щелчку).